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3×3魔方陣問題の考え方と解き方と作り方

     - 雑学

魔法陣ではなくて魔方陣

魔方陣とは?

正方形の升目が異なった数字で埋まっており、縦、横、斜めの和が一定の数になるもの。

6 1 8
7 5 3
2 9 4

6 + 1 + 8=15
+    +    +
7 + 5 + 3=15
+    +    +
2 + 9 + 4=15
||   ||    ||
15  15  15

小学校の算数の授業で出題されたり、SPI試験で出題されたりしています。

魔方陣の考え方

縦横斜めの和の求め方

a b c
d e f
g h i

縦横斜めの数の和が一定になるので横の和を求める。
横の和をXとすると
a+b+c=X
d+e+f=X
g+h+i=X

この3つをまとめる
a+b+c+d+e+f+g+h+i=3X
升目には1~9の異なった数字が入るのでアルファベットを数字に置き換える事ができる。
1+2+3+4+5+6+7+8+9=3X45=3X
X=15
これで縦横斜めの和が15に成ることがわかる。

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中心の求め方

a b c
d e f
g h i

中心eを含む縦横斜めを求める。

b+e+h=15

d+e+f=15
斜め
a+e+i=15
c+e+g=15

まとめると
a+b+c+d+4e+f+g+h+i=60
少し変形する
(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e=60
a~iには1~9の異なる数字が入り、1~9の合計が45なので
45+3e=60
計算すると
e=5
となる。

なので中心(e)には5が入る

以上のことから

縦横斜めの合計は15になる
中心は5になる

の二点が分かる。

魔方陣の解き方

実際の問題としては

8
7
X

3×3の升目を1~9のそれぞれ異なった数字で埋めて縦横斜めの数値の和が一定の数になるようにしたい。
Xに入る数字はいくつか

と言ったように出題される。

 

実際に解いてみよう

まず先ほど出した「中心は5」に従って中心に5を入れる

8
7 5
X

これで真ん中の行が2つ埋まったので、「縦横斜めの和は15」から

8
7 5 3
X

とできる。

同じようにして

8
7 5 3
X 4
8
7 5 3
2 X 4

これでXの両隣が埋まったので

2+X+4=15
X=9

となる。

SPIはXを求めろなのでこれで終了になる。
小学校の算数で全て埋めよなら同じように全て埋める。

魔方陣問題(3×3)まとめ

魔方陣の中心は5が入る

魔方陣の縦横斜めの和は15になる

※3*3の魔方陣だけです

3×3魔方陣の作り方

3*3の升目を拡張し(黄緑色の部分)斜め方向に1~9の数字を順番に入れる。

1
4 2
7 5 3
8 6
9

はみ出た黄緑色の部分を対面の遠いほうに入れます

4 2
7 5 3
8  1 6
9

これを繰り返して

4  9 2
 3 5 7
8  1 6

これで3*3魔方陣の完成です。

 

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